「ルートの無限入れ子クイズ」の解答
[結] 2007年6月 - 結城浩の日記


 とりあえず、他の人の解答を見ずに、自分で考えてみた。


まず、n = 1 の場合
以下は自明。
1 < 2
両辺の平方根をとっても、大きさの関係は変化しないので、
1 < √2

同様に、
2 < 4 なので
√2 < 2

従って、以下の関係が成り立つ。
1 < √2 < 2

n = 2 の場合、
1 < √2
両辺に2を掛けても、大きさの関係は変化しないので
2 < 2√2
両辺の平方根をとっても、大きさの関係は変化しないので、
√2 < √2√2

√2 < 2 からも、上記と同様の手順で
√2√2 < 2 が得られる

以上から、
1 < √2 < √2√2 < 2
(つまり、 1 < a1 < a2 < 2)

n = 3 以降も同様の手順で、以下の式が得られる
1 < √2 < √2√2 < √2√2√2 < 2 (n = 3)
1 < √2 < √2√2 < √2√2√2 < √2√2√2√2 < 2 (n = 4)
...
1 < √2 < √2√2 < √2√2√2 < √2√2√2√2 < ... < √2√2√2√2... < 2

よって、an は2に限りなく近づいていくので、極限を取ると、2に収束する。



Scheme でプログラム書いて確認してみた。

(define (nested-sqrt n count)
(define (nested-sqrt-iter result n count)
(if (<= count 0)
result
(nested-sqrt-iter (sqrt (* n result )) n (- count 1))))
(nested-sqrt-iter (sqrt n) n (- count 1)))

(nested-sqrt 2 10) ;=> 1.9986466550053015
(nested-sqrt 2 20) ;=> 1.99999867792711
(nested-sqrt 2 50) ;=> 1.9999999999999987
(nested-sqrt 2 100) ;=> 1.9999999999999998
(nested-sqrt 2 1000) ;=> 1.9999999999999998

2に収束するという答えで合ってるっぽい。
というか、√n√n√n√n... は、基本的には n に収束するはず(これが成り立つ n の条件は分からないけど)。


(nested-sqrt 3 100) ;=> 2.9999999999999996
(nested-sqrt 5.5 100) ;=> 5.5
(nested-sqrt 0.1 50) ;=> 0.10000000000000021

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by fkmn | 2007-06-13 22:46 | 日記
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